如何从微分几何的基本概念到爱因斯坦场方程？相对论性星球的静平衡方程是怎样的？为什么固定半径的星球存在质量上限？6月8日，《张朝阳的物理课》高校系列第四场走进北京师范大学。搜狐创始人、董事局主席兼首席执行官、物理学博士张朝阳现场硬核推导“恒星内部的广义相对论解”，与学子们一起探讨广义相对论和爱因斯坦的天才构想。
张朝阳先从微分几何的一些基本概念出发，陆续介绍了克氏符、协变导数、二阶张量的散度等，然后以爱因斯坦场方程为出发点推导得到了静态球对称星球内部压强所满足的TOV方程。最后，张朝阳在假设密度均匀的情况下求解了TOV方程，得到了星球的质量上限。
介绍微分几何的一些基本概念
在之前的物理直播课中，张朝阳介绍过爱因斯坦场方程为
它是一组关于度规的二阶偏微分方程，其中已经取单位制使得c=G=1。在弯曲时空背景中，质点在不受外力的情况下沿测地线运动，其时空位置满足测地线方程：
除了质点，在广义相对论中还会处理到流体这种对象，比如星球的内部物质就可以近似为理想流体。在牛顿引力理论中，星球内部的流体静平衡方程为
在相对论情形中，此静平衡方程必然需要受到修正。因此，在这一次的直播课中，张朝阳会详细介绍相对论星球的流体静平衡方程及其在常数密度情况下的求解方法。为了内容完整，张朝阳带大家回顾了以往多期直播课所介绍过的微分几何概念。
张朝阳首先介绍的是上下基矢：
它们满足关系
其中，上式最后一行意味着上下基矢互相成为对偶基矢。利用这些关系，可以定义张量的上下指标分量，并且可以证明与度规进行缩并可以实现升降指标的作用。另一方面，当考虑矢量场V沿坐标做微小变化时，有
因此
定义克氏符为
那么(δV)^α就可以写为
其中方括号内的就是矢量场的协变导数：
它是平直时空中偏导数的推广。用类似方法可以证明，对于矢量场协变导数的下指标分量，其克氏符前面是负号：
对此结果的推导感兴趣的读者可以参考往期的物理直播课。在这里有一点需要注意的是，一般人们使用的克氏符，它关于其下面两个指标是对称的：
这个是（伪）黎曼流形的无挠条件。在无挠条件以及度规的协变导数为0的条件下，克氏符才由度规唯一决定。但是，对于利用标架基矢来定义所得到的“克氏符”：
它对于下面两个指标不一定是对称的。不过，如果取e_β为坐标基矢，那么就会得到对称的克氏符。因此，接下来的推导都默认克氏符是关于下面两个指标对称的。
（张朝阳介绍矢量场的协变导数）
对于二阶张量，可以得到
等号右边括号内的量正是二阶张量协变导数的分量：
有了协变导数的概念，就可以定义矢量场、张量场的散度了。在三维平直空间中，矢量场的散度为
将其推广到高维的平直时空中，散度就会变成
对于弯曲时空，只需要将其中的偏导数换成协变导数即可，因此矢量场的散度为
对于二阶张量场，也可以定义其散度，为
由此可见，二阶张量场的散度为一阶张量场，也就是矢量场。
静态球对称与能动量守恒所带来的约束
根据爱因斯坦场方程，有
根据比安奇恒等式，可以证明上式等号左边的张量的散度是等于0的，因此有
这其实就是能动量守恒。
在以前的物理直播课中，张朝阳介绍过静态球对称度规的一般形式可以写为
其中，A和B都是r的函数。这个度规是对角的，因此满足
前面提到，星球内部的物质可以近似为理想流体。静态理想流体的能动张量为
其中，p和ρ分别是物质的压强和密度，U是物质的四速度。由于
等式两边除以dτ²，可以得到
这就是四速度的归一化条件。又因为静止情况下四速度只有0分量不为零：
因此
将其代入四速度的归一化条件中，可以得到
因此
根据上面这些结果，可以得到静态理想流体的能动张量为
根据能动量守恒要求，上式表述的能动张量需要满足散度为0的要求。由于二阶张量的散度是一阶张量，因此T的散度为零会得到四个方程。但是，由于在这里已经使用了球对称所带来的很多约束，因此可以感觉到，只有径向方程（对应于β=1）才会给出有用的信息。为此，先写出完整的T散度表达式：
然后让β=1，并考虑到T是对角的，可以得到
上式最后一行的最后一项因为出现了多个重复指标，因此显式地写出了它的求和符号以避免引起误解。
张朝阳接下来开始分别求出上式最后一行的三项的具体表达式。首先，有
然后
其中使用了度规是对角化的这个条件。另一方面，有
将式(1)、(2)、(3)的结果组合在一起，即可得到
又因为
因此
于是，T的散度的1分量可以简化为
进一步的，当α≠0时，有
因此
于是
将其代回T的散度的1分量的表达式中，然后让其等于0，消去公因子g^{11}可得
将∂_1写为d/dr，并将静态球对称情况下的g_{00}形式代入上式可以得到
（张朝阳介绍由能动量守恒所得到的方程）
结合爱因斯坦场方程 推导得到TOV方程
为了求出dA/dr，张朝阳回到了爱因斯坦场方程来分析：
张朝阳强调，直接使用这个方程会略微繁琐，如果将其升一个指标，那么将可以在一定程度上减轻繁琐的运算。将上式升一个指标，可以得到
其中标量曲率R为
根据往期物理直播课的介绍，静态球对称度规下的里奇曲率为
其中撇号表示对r的导数。里奇曲率的非对角分量都为零。由上式以及度规的表达式可以得到
这些量都可以在一上一下指标的爱因斯坦场方程中直接使用。进一步的，可以得到标量曲率为
先考虑爱因斯坦场方程的00分量，有
此方程有个非常重要的特性是，它不包含A，只包含B，因此可以通过它来求解B。这个方程经过变形之后可以得到
使用凑微分法可以将其进一步变形为
于是
其中C1是积分常数。为了得到积分常数C1的值，可以在上式等号两边同时让r趋向于零，那么有C1=0。因此
为了进一步简化符号，张朝阳定义
于是得到
张朝阳强调，m(r)不等于半径r内的物质质量，因为此时的空间是弯曲的，相应的体积元不是4πr²dr，而是别的形式。
张朝阳接下来的目的是求出dA/dr，为此，考虑爱因斯坦场方程的11分量，有
于是
将其代入前面得到的关于dp/dr的表达式，即可得到最终形式的TOV方程：
这就是静态球对称星球内部压强所需要满足的方程。
（张朝阳介绍TOV方程的推导）
如果在TOV方程中恢复为国际单位制的形式，那么ρ需要写为ρc^2。因为
对于非相对论情形，粒子热运动的v远远小于光速c，因此在c=1的自然单位制中，非相对论星球满足
另一方面，在取长度量纲情况下，2m(r)是质量m(r)对应的施瓦西半径，对于非致密星体，其施瓦西半径远小于星体半径，因此2Gm(r)相对于r可以忽略不计。综合这些近似，可以得到TOV方程的非相对论极限为
这正是本次课程一开始张朝阳介绍的牛顿引力中星球内部的流体静平衡方程。
求解常数密度情况下的TOV方程 要求压强取有限值可得质量上限
TOV方程描述了广义相对论中静态球对称星体内部的压强分布，应用非常广泛。然而，要完整求解星体内部的压强分布，除了TOV方程之外，还需要知道星体物质的物态方程，它决定了物质密度与压强之间的关系。作为例子，张朝阳分析了常数密度情形下TOV方程的求解，并最终得到了固定半径的星球的质量上限。其实，存在这个质量上限并不奇怪。根据往期物理直播课的分析，m(r)/r必须小于1/2。不过，张朝阳这里介绍的质量上限要更低一些。
在ρ=ρ_0为常数的情况下，m(r)为
将其代入TOV方程可以得到
这个方程可以通过分离变量来求解，这样会得到
在上式最后一行将绝对值符号换成了括号，是因为m(r)/r<1/2，因此有
为了将式(4)最左边变成全微分形式，使用积分换元
于是
上式省略了不定积分的积分常数。最后一行是因为p和ρ_0都大于0，因此去掉了绝对值符号。根据这个积分结果，式(4)可以改写为
由此可以得到
或者写为
其中C_2是一个常数，可以通过边界条件定下来。在星球的边界r=R处，压强p(R)=0，于是在上式取r=R可得
接下来利用M=m(R)可以得到
因此
对于一般的r，有
将C_2代入式(5)，并使用符号β(r)进行简写，可得
将压强p解出，可得
（张朝阳在常数密度情形下得到TOV方程的解）
根据TOV方程，压强是随半径增大而递减的，因此星球中心处的压强最大。在r=0处，β(0)=1，于是
当α从大于1/3的位置出发趋向于1/3时，星球中心处的压强p(0)将会趋向于正无穷，这意味着星球会发生坍缩，因此α需大于1/3。根据α的定义，有
于是
这正是密度均匀的静态球对称星球所需要满足的条件。此结论是广义相对论独有的，在牛顿引力理论中并不存在这样的质量上限条件。
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广义相对论含义是什么核心内容？
: 在600千米的距离上观看十倍太阳质量的黑洞（模拟图），背景为银河系广义相对论是阿尔伯特·爱因斯坦于1916年发表的用几何语言描述的引力理论，它代表了现代物理学中引力理论研究的最高水平。 广义相对论将经典的牛顿万有引力定律包含在狭义相对论的框架中，并在此基础上应用等效原理而建立。 在广义相对论中，引力被描述为时空的一种几何属性（曲率）；而这种时空曲率与处于时空中的物质与辐射的能量-动量张量直接相联系，其联系方式即是爱因斯坦的引力场方程（一个二阶非线性偏微分方程组）。 从广义相对论得到的有关预言和经典物理中的对应预言非常不相同，尤其是有关时间流逝、空间几何、自由落体的运动以及光的传播等问题，例如引力场内的时间膨胀、光的引力红移和引力时间延迟效应。 广义相对论的预言至今为止已经通过了所有观测和实验的验证——虽说广义相对论并非当今描述引力的唯一理论，它却是能够与实验数据相符合的最简洁的理论。 不过，仍然有一些问题至今未能解决，典型的即是如何将广义相对论和量子物理的定律统一起来，从而建立一个完备并且自洽的量子引力理论。 爱因斯坦的广义相对论理论在天体物理学中有着非常重要的应用：它直接推导出某些大质量恒星会终结为一个黑洞——时空中的某些区域发生极度的扭曲以至于连光都无法逸出。 有证据表明恒星质量黑洞以及超大质量黑洞是某些天体例如活动星系核和微类星体发射高强度辐射的直接成因。 光线在引力场中的偏折会形成引力透镜现象，这使得人们能够观察到处于遥远位置的同一个天体的多个成像。 广义相对论还预言了引力波的存在，引力波已经被间接观测所证实，而直接观测则是当今世界像激光干涉引力波天文台（LIGO）这样的引力波观测计划的目标。 此外，广义相对论还是现代宇宙学的膨胀宇宙模型的理论基础。 历史爱因斯坦解释广义相对论的手稿扉页1905年爱因斯坦发表狭义相对论后，他开始着眼于如何将引力纳入狭义相对论框架的思考。 以一个处在自由落体状态的观察者 的理想实验为出发点，他从1907年开始了长达八年的对引力的相对性理论的探索。 在历经多次弯路和错误之后，他于1915年11 月在普鲁士科学院上作了发言，其内容正是著名的爱因斯坦引力场方程。 这个方程描述了处于时空中的物质是如何影响其周围 的时空几何，并成为了爱因斯坦的广义相对论的核心。 爱因斯坦的引力场方程是一个二阶非线性偏微分方程组，数学上想要求得方程的解是一件非常困难的事。 爱因斯坦运用了很多 近似方法，从引力场方程得出了很多最初的预言。 不过很快天才的天体物理学家卡尔·史瓦西就在1916年得到了引力场方程的 第一个非平庸精确解——史瓦西度规，这个解是研究星体引力坍缩的最终阶段，即黑洞的理论基础。 在同一年，将史瓦西几何 扩展到带有电荷的质量的研究工作也开始进行，其最终结果就是雷斯勒-诺斯特朗姆度规，其对应的是带电荷的静态黑洞。 1917年爱因斯坦将广义相对论理论应用于整个宇宙，开创了相对论宇宙学的研究领域。 考虑到同时期的宇宙学研究中静态宇宙 的学说仍被广为接受，爱因斯坦在他的引力场方程中添加了一个新的常数，这被称作宇宙常数项，以求得和当时的“观测”相 符合。 然而到了1929年，哈勃等人的观测表明我们的宇宙处在膨胀状态，而相应的膨胀宇宙解早在1922年就已经由亚历山 大·弗里德曼从他的弗里德曼方程（同样由爱因斯坦场方程推出）得到，这个膨胀宇宙解不需要任何附加的宇宙常数项。 比利 时牧师勒梅特应用这些解构造了宇宙大爆炸的最早模型，模型预言宇宙是从一个高温高致密状态演化来的。 爱因斯坦其后 承认添加宇宙常数项是他一生中犯下的最大错误。 在那个时代，广义相对论与其他物理理论相比仍保持了一种神秘感。 由于它和狭义相对论相融洽，并能够解释很多牛顿引力无 法解释的现象，显然它要优于牛顿理论。 爱因斯坦本人在1915年证明了广义相对论是如何解释水星轨道的反常近日点进动的现 象，其过程不需要任何附加参数（所谓“敷衍因子”）。 另一个著名的实验验证是由亚瑟·爱丁顿爵士率领的探险队在非 洲的普林西比岛观测到的日食时的光线在太阳引力场中的偏折，其偏折角度和广义相对论的预言完全相符（是牛顿理论预 言的偏折角的两倍），这一发现随后被全球报纸竞相报导，一时间使爱因斯坦的理论名声赫赫。 但是直到1960年至1975年 间，广义相对论才真正进入了理论物理和天体物理主流研究的视野，这一时期被称作广义相对论的黄金时代。 物理学家逐渐理 解了黑洞的概念，并能够通过天体物理学的性质从类星体中识别黑洞。 在太阳系内能够进行的更精确的广义相对论的实验 验证进一步展示了广义相对论非凡的预言能力，而相对论宇宙学的预言也同样经受住了实验观测的检验。 从经典力学到广义相对论理解广义相对论的最佳方法之一是从经典力学出发比较两者的异同点：这种方法首先需要认识到经典力学和牛顿引力也可以用几何语言来描述，而将这种几何描述和狭义相对论的基本原理放在一起对理解广义相对论具有启发性作用。 牛顿引力的几何学经典力学的一个基本原理是：任何一个物体的运动都可看作是一个不受任何外力的自由运动（惯性运动）和一个偏离于这种自由运动的组合。 这种偏离来自于施加在物体上的外力作用，其大小和方向遵循牛顿第二定律（外力大小等于物体的惯性质量乘以加速度，方向与加速度方向相同）。 而惯性运动与时空的几何性质直接相关：经典力学中在标准参考系下的惯性运动是匀速直线运动。 用广义相对论的语言说，惯性运动的轨迹是时空几何上的最短路径（测地线），在闵可夫斯基时空中是直的世界线。 小球落到正在加速的火箭的地板上（左）和落到地球上（右），处在其中的观察者会认为这两种情形下小球的运动轨迹没有什么区别反过来，原则上讲也可以通过观察物体的运动状态和外力作用（如附加的电磁力或摩擦力等）来判断物体的惯性运动性质，从而用来定义物体所处的时空几何。 不过，当有引力存在时这种方法会产生一些含糊不清之处：牛顿万有引力定律以及多个彼此独立验证的相关实验表明，自由落体具有一个普遍性（这也被称作弱等效原理，亦即惯性质量与引力质量等价），即任何测试质量的自由落体的轨迹只和它的初始位置和速度有关，与构成测试质量的材质等无关。 这一性质的一个简化版本可以通过爱因斯坦的理想实验来说明，如右图所示：对于一个处在狭小的封闭空间中的观察者而言，无法通过观测落下小球的运动轨迹来判断自己是处于地面上的地球引力场中，还是处于一艘无引力作用但正在加速的火箭里（加速度等于地球引力场的引力加速度）；而作为对比，处于电磁场中的带电小球运动和加速参考系中的小球运动则是可以通过不同小球携带不同的电量来区分的。 而由于引力场在空间中存在分布的变化，弱等效原理需要加上局部的条件，即在足够小的时空区域内引力场中的自由落体运动和均一加速参考系中的惯性运动是完全相同的。 由于自由落体的普遍性，惯性运动（实验中的火箭内）和在引力场中的运动（实验中的地面上）是无法通过观察来区分的。 这是在暗示一类新的惯性运动的定义，即在引力作用下的自由落体也属于惯性运动。 通过这种惯性运动则可以重新定义周围的时空几何——从数学上看引力场中惯性运动的轨迹（测地线）和引力势的梯度有关。
张朝阳的物理课水平怎么样？
《张朝阳的物理课》火了，他的教学水平真的非常棒，导致他又很多的粉丝。
张朝阳的讲课水平，甚至不如一个普通的中学的教师，讲的内容也不是什么高大上的，学过大学物理或者备课了都可以讲出来！之所以很多认为他是被耽误的物理学家，其实就是他的光环太过耀眼了。清华+MIT物理博士，中国互联网教父，有这样的履历的亿万富豪讲课，很多人当然觉得好厉害！
张朝阳优秀是不假，不单是麻省理工的博士后，回国创业也很成功。虽说后几年被以马云为代表的后起之秀掩盖了风头，但毕竟还是塔尖上的人物，不曾跌落。曾经作为国内互联网行业的领头羊，搜狐公司的创始人张朝阳，不仅是商业大佬，也是名副其实的物理学博士，真正的学霸！
张朝阳本身物理水平高是一定的，但达不到物理学家的水平。说他是企业家，这个具有信服力，因为他企业做的相对来说很成功了，但物理水平达不到他的企业高度。
如果抛出这些，张朝阳的讲课水平一般般，很多人被他的履历所折服，也有很多人没听过他的直播视频，爱因斯坦的质能方程不是什么高大上的东西，已经过了好几十年的东西！薛定谔方程等都是一些大学物理比较基本的东西，还有爱因斯坦的相对论。看他推导的质能方程E=mc²物理公式写了满满一黑板，非常接地气，真是长见识了。
虽然看不懂，不过听他讲课也是一种乐趣，头条大咖李永乐老师也在课堂听讲，认真的做笔记！其实作为普通人，非常羡慕这样的退休生活，毕竟人家赚到这辈子花不完的钱。总的来说，他的教学真的非常棒，他的教学非常有趣。
相对论是怎么回事
相对论是关于时空和引力的基本理论，主要由爱因斯坦(Albert Einstein)创立，分为狭义相对论(特殊相对论)和广义相对论(一般相对论)。 相对论的基本假设是光速不变原理，相对性原理和等效原理。 相对论和量子力学是现代物理学的两大基本支柱。 奠定了经典物理学基础的经典力学，不适用于高速运动的物体和微观条件下的物体。 相对论解决了高速运动问题；量子力学解决了微观亚原子条件下的问题。 相对论极大的改变了人类对宇宙和自然的“常识性”观念，提出了“同时的相对性”，“四维时空”“弯曲空间”等全新的概念。 狭义相对论，是只限于讨论惯性系情况的相对论。 牛顿时空观认为空间是平直的、各向同性的和各点同性的的三维空间——绝对空间，时间是独立于空间的单独一维（因而也是绝对的），即绝对时空观。 狭义相对论认为空间和时间并不相互独立，而是一个统一的四维时空整体，并不存在绝对的空间和时间。 在狭义相对论中，整个时空仍然是平直的、各向同性的和各点同性的，这是一种对应于“全局惯性系”的理想状况。 狭义相对论将真空中光速为常数作为基本假设，结合狭义相对性原理和上述时空的性质可以推出洛仑兹变换。 广义相对论是爱因斯坦在1915年发表的理论。 爱因斯坦提出“等效原理”，即引力和惯性力是等效的。 这一原理建立在引力质量与惯性质量的等价性上(目前实验证实,在10 − 12的精确度范围内,仍没有看到引力质量与惯性质量的差别)。 根据等效原理，爱因斯坦把狭义相对性原理推广为广义相对性原理，即物理定律的形式在一切参考系都是不变的。 物体的运动方程即该参考系中的测地线方程。 测地线方程与物体自身故有性质无关，只取决于时空局域几何性质。 而引力正是时空局域几何性质的表现。 物质质量的存在会造成时空的弯曲，在弯曲的时空中，物体仍然顺着最短距离进行运动(即沿着测地线运动——在欧氏空间中即是直线运动)，如地球在太阳造成的弯曲时空中的测地线运动，实际是绕着太阳转，造成引力作用效应。 正如在弯曲的地球表面上，如果以直线运动，实际是绕着地球表面的大圆走。 倒相对论：相对论的提出，同样受到很多的指责，有很多人认为它是错误的，并大大阻碍了社会的发展。 然而这种观点并不被主流科学界所接受。 爱因斯坦和他的相对论 除了量子理论以外，1905年刚刚得到博士学位的爱因斯坦发表的一篇题为《论动体的电动力学》的文章引发了二十世纪物理学的另一场革命。 文章研究的是物体的运动对光学现象的影响，这是当时经典物理学面对的另一个难题。 十九世纪中叶，麦克斯韦建立了电磁场理论，并预言了以光速C传播的电磁波的存在。 到十九世纪末，实验完全证实了麦克斯韦理论。 电磁波是什么？它的传播速度C是对谁而言的呢？当时流行的看法是整个宇宙空间充满一种特殊物质叫做“以太”，电磁波是以太振动的传播。 但人们发现，这是一个充满矛盾的理论。 如果认为地球是在一个静止的以太中运动，那么根据速度迭加原理，在地球上沿不同方向传播的光的速度必定不一样，但是实验否定了这个结论。 如果认为以太被地球带着走，又明显与天文学上的一些观测结果不符。 1887年迈克尔逊和莫雷利用光的干涉现象进行了非常精确的测量，仍没有发现地球有相对于以太的任何运动。 对此，洛仑兹(H．A．Lorentz)提出了一个假设，认为一切在以太中运动的物体都要沿运动方向收缩。 由此他证明了，即使地球相对以太有运动，迈克尔逊也不可能发现它。 爱因斯坦从完全不同的思路研究了这一问题。 他指出，只要摒弃牛顿所确立的绝对空间和绝对时间的概念，一切困难都可以解决，根本不需要什么以太。 爱因斯坦提出了两条基本原理作为讨论运动物体光学现象的基础。 第一个叫做相对性原理。 它是说：如果坐标系K相对于坐标系K作匀速运动而没有转动，则相对于这两个坐标系所做的任何物理实验，都不可能区分哪个是坐标系K，哪个是坐标系K′。 第二个原理叫光速不变原理，它是说光（在真空中）的速度c是恒定的，它不依赖于发光物体的运动速度。 从表面上看，光速不变似乎与相对性原理冲突。 因为按照经典力学速度的合成法则，对于K′和K这两个做相对匀速运动的坐标系，光速应该不一样。 爱因斯坦认为，要承认这两个原理没有抵触，就必须重新分析时间与空间的物理概念。 经典力学中的速度合成法则实际依赖于如下两个假设：1．两个事件发生的时间间隔与测量时间所用的钟的运动状态没有关系；2．两点的空间距离与测量距离所用的尺的运动状态无关。 爱因斯坦发现，如果承认光速不变原理与相对性原理是相容的，那么这两条假设都必须摒弃。 这时，对一个钟是同时发生的事件，对另一个钟不一定是同时的，同时性有了相对性。 在两个有相对运动的坐标系中，测量两个特定点之间的距离得到的数值不再相等。 距离也有了相对性。 如果设K坐标系中一个事件可以用三个空间坐标x、y、z和一个时间坐标t来确定，而K′坐标系中同一个事件由x′、y′、z′和t′来确定，则爱因斯坦发现，x′、y′、z′和t′可以通过一组方程由x、y、z和t求出来。 两个坐标系的相对运动速度和光速c是方程的唯一参数。 这个方程最早是由洛仑兹得到的，所以称为洛仑兹变换。 利用洛仑兹变换很容易证明，钟会因为运动而变慢，尺在运动时要比静止时短，速度的相加满足一个新的法则。 相对性原理也被表达为一个明确的数学条件，即在洛仑兹变换下，带撇的空时变量x、y、z、t将代替空时变量x、y、z、t，而任何自然定律的表达式仍取与原来完全相同的形式。 人们称之为普遍的自然定律对于洛仑兹变换是协变的。 这一点在我们探索普遍的自然定律方面具有非常重要的作用。 此外，在经典物理学中，时间是绝对的。 它一直充当着不同于三个空间坐标的独立角色。 爱因斯坦的相对论把时间与空间联系起来了。 认为物理的现实世界是各个事件组成的，每个事件由四个数来描述。 这四个数就是它的时空坐标t和x、y、z，它们构成一个四维的连续空间，通常称为闵可夫斯基四维空间。 在相对论中，用四维方式来考察物理的现实世界是很自然的。 狭义相对论导致的另一个重要的结果是关于质量和能量的关系。 在爱因斯坦以前，物理学家一直认为质量和能量是截然不同的，它们是分别守恒的量。 爱因斯坦发现，在相对论中质量与能量密不可分，两个守恒定律结合为一个定律。 他给出了一个著名的质量-能量公式：E＝mc2，其中c为光速。 于是质量可以看作是它的能量的量度。 计算表明，微小的质量蕴涵着巨大的能量。 这个奇妙的公式为人类获取巨大的能量，制造原子弹和氢弹以及利用原子能发电等奠定了理论基础。 对爱因斯坦引入的这些全新的概念，大部分物理学家，其中包括相对论变换关系的奠基人洛仑兹，都觉得难以接受。 旧的思想方法的障碍，使这一新的物理理论直到一代人之后才为广大物理学家所熟悉，就连瑞典皇家科学院，1922年把诺贝尔奖金授予爱因斯坦时，也只是说“由于他对理论物理学的贡献，更由于他发现了光电效应的定律。 ”对于相对论只字未提。 爱因斯坦于1915年进一步建立起了广义相对论。 狭义相对性原理还仅限于两个相对做匀速运动的坐标系，而在广义相对论性原理中匀速运动这个限制被取消了。 他引入了一个等效原理，认为我们不可能区分引力效应和非匀速运动，即非匀速运动和引力是等效的。 他进而分析了光线在靠近一个行量附近穿过时会受到引力而弯折的现象，认为引力的概念本身完全不必要。 可以认为行星的质量使它附近的空间变成弯曲，光线走的是最短程线。 基于这些讨论，爱因斯坦导出了一组方程，它们可以确定由物质的存在而产生的弯曲空间几何。 利用这个方程，爱因斯坦计算了水星近日点的位移量，与实验观测值完全一致，解决了一个长期解释不了的困难问题，这使爱因斯坦激动不已。 他在写给埃伦菲斯特的信中这样写道：“……方程给出了近日点的正确数值，你可以想象我有多高兴！有好几天，我高兴得不知怎样才好。 ” 1915年11月25日，爱因斯坦把题为“万有引力方程”的论文提交给了柏林的普鲁士科学院，完整地论述了广义相对论。 在这篇文章中他不仅解释了天文观测中发现的水星轨道近日点移动之谜，而且还预言：星光经过太阳会发生偏折，偏折角度相当于牛顿理论所预言的数值的两倍。 第一次世界大战延误了对这个数值的测定。 1919年5月25日的日全食给人们提供了大战后的第一次观测机会。 英国人爱丁顿奔赴非洲西海岸的普林西比岛，进行了这一观测。 11月6日，汤姆逊在英国皇家学会和皇家天文学会联席会议上郑重宣布：得到证实的是爱因斯坦而不是牛顿所预言的结果。 他称赞道“这是人类思想史上最伟大的成就之一。 爱因斯坦发现的不是一个小岛，而是整整一个科学思想的新大陆。 ”泰晤士报以“科学上的革命”为题对这一重大新闻做了报道。 消息传遍全世界，爱因斯坦成了举世瞩目的名人。 广义相对论也被提高到神话般受人敬仰的宝座。 从那时以来，人们对广义相对论的实验检验表现出越来越浓厚的兴趣。 但由于太阳系内部引力场非常弱，引力效应本身就非常小，广义相对论的理论结果与牛顿引力理论的偏离很小，观测非常困难。 七十年代以来，由于射电天文学的进展，观测的距离远远突破了太阳系，观测的精度随之大大提高。 特别是1974年9月由麻省理工学院的泰勒和他的学生惠斯勒，用305米口径的大型射电望远镜进行观测时，发现了脉冲双星，它是一个中子星和它的伴星在引力作用下相互绕行，周期只有0.323天，它的表面的引力比太阳表面强十万倍，是地球上甚至太阳系内不可能获得的检验引力理论的实验室。 经过长达十余年的观测，他们得到了与广义相对论的预言符合得非常好的结果。 由于这一重大贡献，泰勒和惠斯勒获得了1993年诺贝尔物理奖。 相对论 十九世纪后期，由于光的波动理论的确立，科学家相信一种叫“以太”的连续介质充满了宇宙空间，就象空气中的声波一样，光线和电磁信号是“以太”中的波。 然而，与空间完全充满“以太”的思想相悖的结果不久就出现了：根据“以太”理论应得出，光线传播速度相对于“以太”应是一个定值，因此，如果你沿与光线传播相同的方向行进，你所测量到的光速应比你在静止时测量到的光速低；反之，如果你沿与光线传播相反的方向行进，你所测量到的光速应比你在静止时测量到的光速高。 但是，一系列实验都没有找到造成光速差别的证据。 在这些实验当中，阿尔波特·迈克尔逊和埃迪沃德·莫里1887年在美国俄亥俄州克里夫兰的凯斯研究所所完成的测量，是最准确细致的。 他们对比两束成直角的光线的传播速度，由于围着自转轴的转动和绕太阳的公转，根据推理，地球应穿行在“以太”中，因此上述成直角的两束光线应因地球的运动而测量到不同的速度，爱尔兰物理学家乔治·费兹哥立德和荷兰物理学家亨卓克·洛仑兹，最早认为相对于“以太”运动的物体在运动方向的尺寸会收缩，而相对于“以太”运动的时钟会变慢。 并且洛仑兹提出了著名的洛仑兹变换。 而对“以太”，费兹哥立德和洛仑兹当时都认为是一种真实存在的物质。 而法国数学家庞加莱怀疑这一点，并预见全新的力学会出现。 马赫和休谟的哲学对爱因斯坦影响很大。 马赫认为时间和空间的量度与物质运动有关。 时空的观念是通过经验形成的。 绝对时空无论依据什么经验也不能把握。 休谟更具体的说：空间和广延不是别的，而是按一定次序分布的可见的对象充满空间。 而时间总是又能够变化的对象的可觉察的变化而发现的。 1905年爱因斯坦指出，迈克尔逊和莫雷实验实际上说明关于“以太”的整个概念是多余的，光速是不变的。 而牛顿的绝对时空观念是错误的。 不存在绝对静止的参照物，时间测量也是随参照系不同而不同的。 他用光速不变和相对性原理提出了洛仑兹变换。 创立了狭义相对论。 爱因斯坦死后的几十年里，其形象不断地被拔高。 他写的书几十年长销不衰，他的话经常被流行文化引征据用，他的肖像被印在T恤衫上和咖啡杯上，可以说商业用途极为广泛。 被奉为圣人，其形象却从不咄咄逼人，爱因斯坦自始至终的形象都是：一个温和文雅的天才。 他有多少天分，同样就有多少慈善。 成就和人格的完美结合，使得许多人视爱因斯坦为圣人。 但实际上，当我们越关注爱因斯坦外在的高大形象，反而越不能了解那个真正的爱因斯坦和他所做过的一切。 幸亏有了一个坚持不懈的出版计划，20世纪最伟大的科学家其真正面貌才得以最终成型。 这就是《爱因斯坦全集》。 这套将公布爱因斯坦约篇原始文件的全集共有25卷，现在已经出版到第8卷。 全套文集不仅包括了爱因斯坦所有科学文献以供研究者追随这位科学家的思想历程，而且还公布了其大量的书信来往，展现了其真实的为人。 在那里面，你可以深深地感受到爱因斯坦的智慧和魅力还有令人尊敬的勇气和社会正义感。 但另一方面，文集也说明了爱因斯坦远不是一个圣人，他也尖酸刻薄，也反叛，甚至可以说是有点放荡。 当你走进美国自然博物馆阴暗的展览大厅，耳边响起英国著名作曲家霍尔斯特在1918年创作的《ThePlanets（行星组曲）》时，那种极不和谐、有点刺耳的音调仿佛在提醒游客：爱因斯坦的内心世界就是这样矛盾、这么不和谐的。 一直以来，流传着许多关于爱因斯坦具有超自然能力的各种传说，他的姐姐说他的后脑勺又大又有棱角。 以前曾流传过许多关于爱因斯坦具有超自然能力的各种传说。 （最为典型的一个故事，称爱因斯坦小时候说出的第一句话竟然是抱怨牛奶太热了，目瞪口呆的父母问他为什么以前一直不开口说话。 谁料这个小天才回答：“因为，以前的一切都没有什么问题呀！”） 根据爱因斯坦的的姐姐玛亚在一部从未出版过的自传中称，爱因斯坦的智力发展很慢，而且到了很晚才开始会说话。 玛亚说：“当爱因斯坦刚出生的时候，母亲看见他那又巨大又有棱角的后脑勺时都快吓坏了。 ” “爱因斯坦的大脑的确异于常人，大脑海马区左侧的神经细胞明显比右侧的大，并且分布很规则”（加州大学Zaidel博士） 美国加州大学的Zaidel博士称，爱因斯坦的大脑与普通人相比，存在着“显著的差异”。 Zaidel研究了爱因斯坦的两个大脑组织切片（生物实验中经常使用的研究方法），这两个切片含有大脑海马区的神经细胞，它们负责处理语言与想象的工作。 通过与10个普通人的大脑切片对比，Zaidel博士发现爱因斯坦大脑组织存在显著的“优势”：爱因斯坦大脑海马区左侧的神经细胞明显比右侧的大，并且分布很规则；而普通人该组织区的神经细胞看上去很小，而且表现得“非常不规则”。 但是Zaidel指出，爱因斯坦大脑组织的特性“是天生的，还是后天发展的结果”，目前尚不能定论。 “我没有任何特殊的才能。 我拥有的只是极其强烈的好奇心。 ”“我的智力发展很迟缓，我一直到了完全长大以后，才开始对时空问题感到疑惑的。 ”（爱因斯坦） 那么，爱因斯坦究竟是一个怎样的人，他如何“看到”别人“看不到”的东西？爱因斯坦把其成功归结于他的起步慢。 他有一次写道：“一个正常的成年人从来不会停止思考关于时间和空间的问题。 但是我的智力发展却很迟缓，我一直到了完全长大以后，才开始对时空问题感到疑惑。 ” 在1915年，爱因斯坦曾对一名校友说过：“一个人不应该追求那些容易得到的东西，所以我们还是继续努力吧。 ” 哈佛大学的物理兼科学史专家格雷得·和顿是爱因斯坦1955年去世后第一个获许翻看档案的学者。 如今76岁的和顿说当年他翻看爱因斯坦的档案时，被其独一无二的光辉所完全折服。 “爱因斯坦的思考方式完全不像教科书上所说的那样，先做实验，然后得出理论，最后检验结论，他而是几乎完全靠‘想’进行创造，以其极度跳跃的思维来完成他的‘实验’。 爱因斯坦的智慧是超乎常人的。 ” 幼年、青年、老年时期的爱因斯坦 相对论改变了世界 爱因斯坦一生大约发表过300篇科学论文，但归纳其最重要的理论有： 相对论 1905年发表了狭义相对论。 这个理论指出在宇宙中唯一不变的是光线在真空中的速度，其它任何事物——速度、长度、质量和经过的时间，都随观察者的参考系（特定观察）而变化。 时空 爱因斯坦发表他的相对论之二百年前，英国物理学家艾萨克·牛顿（1643~1727）提出时间和空间都是绝对的，空间和时间是完全分开的。 然而，在相对论数学中，时间和三维空间——长、宽和高，一起构成一个四维空间框架，叫做时空关联集。 质量和能量 爱因斯坦从他的狭义相对论中推导出等式E＝MC2（这里E是能量，M是质量，C是恒定的光速），他用这个等式解释了质量和能量是等价的。 现在认为，质量和能量是同一种物质的不同形式，称为质能。 例如，如果一个物体的能量减少了一定量E，则它的质量也减少等于MC2的量，然而，质能不会消失，只不过以另一种形式被释放，它叫辐射能量。 广义相对论 1915年发表了广义相对论，解释了引力作用和加速度作用没有差别的原因。 他还解释了引力是如何和时空弯曲联系起来的，利用数学，爱因斯坦指出物体使周围空间、时间弯曲，在物体具有很大的相对质量（例如一颗恒星）时，这种弯曲可使从它旁边经过的任何其它事物，即使是光线，改变路径。 虫洞 理论上，虫洞是一个黑洞，它的质量非常大，把时空弯曲吸进了它自身之中，它的口开向宇宙的另一个空间及时间，或者也许完全进入另一个宇宙空间。 也许能够利用虫洞建立一个时间旅行机器，但许多科学家们指出这个机器不可能重返到它自身被创建的时间之前。 他还是一个发明匠 我们常常把爱因斯坦想象成一个总在开小差的天才，他的魂儿常常被时空勾了去。 但其实，爱因斯坦也是一个动手能力很强的发明家。 他的父母开了一家电力厂，并常常鼓励小爱因斯坦以后当一个工程师。 他曾经和别人一起合作发明了一套不需拆卸的冷冻系统，后来在一战期间，又曾为德国空军设计了一款机翼。 爱因斯坦曾在瑞士伯尔尼专利局当过7年评估员。 尽管他在工作的时候常常走神发白日梦（在用脑子做实验），但爱因斯坦对自己的工作还是颇为胜任的，并在1906年获得了一次升职的机会。 此外，他在那时就拥有了好几个属于自己的专利，包括一个在20世纪20年代和别人合作发明的一套不需拆卸的冷冻系统。 在一战期间，爱因斯坦又为德国空军设计了一款机翼，并进行到了实验阶段。 可惜当时那个负责测试的飞行员向上级抱怨说飞机装上了爱因斯坦所设计的机翼后看上去就像是一只“怀孕的鸭子”，计划最终流产。 他与FBI“秘密交锋” 尽管爱因斯坦在私生活中很冷漠，但他在公众场合中却表现出很强的社交能力，他甚至是一个天生适合当名人的人。 爱因斯坦拍照时非常上镜，而且拥有一副很有磁性的嗓音。 在一部关于爱因斯坦的记录片中有这么一个镜头：爱因斯坦被一群记者簇拥着而从容应付。 有一个记者问他：“爱因斯坦教授，请问您为自己成为一个美国人而感到高兴吗？”爱因斯坦讽刺他：“既然你站在这里这样问我，那我的回答是‘当然了，我感到非常荣幸’”。 爱因斯坦在1930年12月11日的旅行日记中有一段话就更加直接地奚落记者。 “一群记者在长岛登上了我们的船，问了我一些极为愚蠢的问题，当我用一些毫不值钱的滥调回答他们的时候，他们却像如获至宝般欢喜而归。 ” 他在科学界与政界都树下了不少敌人，他支持犹太人在中东建国，但又很早就警告说应当关注当地阿拉伯人的利益。 尽管爱因斯坦在感情上极其喜恶分明，但最典型的体现在他参与的社会和政治事端。 爱因斯坦曾经不知疲倦地帮助那些纳粹德国的难民逃到美国，他还致力于在耶路撒冷建立希伯来大学以作为犹太人科学家的避难所。 爱因斯坦支持犹太人在巴勒斯坦重建犹太人的王国，但他同时早在1955年就警告说：“我们的建国政策中最关键的一环是要给予一直在中东地区生活的阿拉伯人们同样平等的权利。 ”作为一个忠实的社会主义者，爱因斯坦对资本主义极不信任，他相信，建立“世界政府”是有效控制核武器发展的唯一途径，并只有这样才能从根本上避免战争的发生。 他是一个激进主义者，在德国，他上了纳粹党的黑名单，逃到美国后，FBI花费了22年的时间一直监视他，不仅诬陷他是间谍，还想方设法要把他驱逐出境 爱因斯坦是人权运动最早期的倡导者之一，这是爱因斯坦作为一个激进主义者最鲜为人知的一面。 爱因斯坦不仅利用自己的声望极力反对私刑拷问，他还参加了（美国）全国有色人种协进会（NAACP）的工作。 因此，爱因斯坦这种对抗当局的行为使他在科学界和政界中树下了不少敌人。 他的名字最早在1922年就被写进了纳粹党的黑名单，还有许多颇有声望的德国物理学家也公开称爱因斯坦的研究为“犹太人的物理学”。 这种愚昧的攻击甚至在爱因斯坦与1933年逃到美国普林斯顿大学后也没有停止。 逃到美国后，其激进行为同样让FBI感到非常不安，美国联邦调查局前局长胡佛和爱因斯坦之间由此进行了一场长达20多年的“秘密战争”。 在胡佛的指示下，美国联邦调查局一共搜集了1800多页的有关爱因斯坦的档案，而他们的目的就是要把爱因斯坦驱逐出美国。 胡佛的结论是：爱因斯坦实际上是俄国派到柏林的一个间谍。 不过这种荒谬的说法竟然奏效了，爱因斯坦最终被阻挡在曼哈顿原子弹计划之外。 这就是为什么爱因斯坦建议罗斯福研制核弹却从未参与该工程的原因。 “婚姻是披着文明外衣的奴隶制” 毋庸讳言，爱因斯坦对待女性的看法，确实受到过德国哲学家叔本华思想的深刻影响。 他从未把爱情看得是高于一切。 他在离婚前就有过外遇，并且在第二次结婚后，也有过越轨行为。 他认为，从本质上说，婚姻都是愚蠢的，自己也多次谈到了他的不适合于家庭生活的个性。 “我曾经有过两次丢脸的婚姻”。 爱因斯坦对爱情的激情是有节制的，他从未让激情淹没自己冷静的理性。 爱因斯坦的私生活常为人所诟病。 说的最多的是他的两次“丢脸的婚姻”以及穿插其中的几次婚外情。 有作者甚至暗示他与终生未婚的女秘书杜卡斯之间存在不正当的关系。 爱因斯坦与第一任妻子米勒瓦在大学相识，但受到了来自家庭的强烈反对。 一直到了米勒瓦为爱因斯坦生下了一个女孩，取名丽莎尔，两人才在1903年最终成了婚。 不过，爱因斯坦却从来没有见过自己的私生女。 而且丽莎尔在幼年时就夭折了。 爱因斯坦在信中对米勒瓦所流露出的“我怎么没有早点遇到你，我的小宝贝！”的这种柔情非常的短暂，在爱因斯坦声望益高，在两个小儿子出世后，而米勒瓦也开始出现了精神分裂症的症状时，夫妻间的恩爱很快就消失了，剩下的只有互相的嘲笑和欺骗。 爱因斯坦在1913年写给他的堂妹艾尔莎的信上说：“（米勒瓦）是一个很不友善，毫无幽默感的生物——只要她在，就会拼命破坏别人快乐的生活。 ”艾尔莎那时候已经成为了爱因斯坦的情人，并后来于1919年成为他的第二任妻子。 “我不会希望自己嫁给他，但我们依然喜欢他，尽管他存在许多的缺点。 ”（卡拉普爱斯）狭义相对论是建立在四维时空观上的一个理论，因此要弄清相对论的内容，要先对相对论的时空观有个大体了解。 在数学上有各种多维空间，但目前为止，我们认识的物理世界只是四维，即三维空间加一维时间。 现代微观物理学提到的高维空间是另一层意思，只有数学意义，在此不做讨论。 四维时空是构成真实世界的最低维度，我们的世界恰好是四维，至于高维真实空间，至少现在我们还无法感知。 我在一个帖子上说过一个例子，一把尺子在三维空间里（不含时间）转动，其长度不变，但旋转它时，它的各坐标值均发生了变化，且坐标之间是有联系的。 四维时空的意义就是时间是第四维坐标，它与空间坐标是有联系的，也就是说时空是统一的，不可分割的整体，它们是一种”此消彼长”的关系。 四维时空不仅限于此，由质能关系知，质量和能量实际是一回事，质量（或能量）并不是独立的，而是与运动状态相关的，比如速度越大，质量越大。 在四维时空里，质量（或能量）实际是四维动量的第四维分量，动量是描述物质运动的量，因此质量与运动状态有关就是理所当然的了。 在四维时空里，动量和能量实现了统一，称为能量动量四矢。 另外在四维时空里还定义了四维速度，四维加速度，四维力，电磁场方程组的四维形式等。 值得一提的是，电磁场方程组的四维形式更加完美，完全统一了电和磁，电场和磁场用一个统一的电磁场张量来描述。 四维时空的物理定律比三维定律要完美的多，这说明我们的世界的确是四维的。 可以说至少它比牛顿力学要完美的多。 至少由它的完美性，我们不能对它妄加怀疑。 相对论中，时间与空间构成了一个不可分割的整体——四维时空，能量与动量也构成了一个不可分割的整体——四维动量。 这说明自然界一些看似毫不相干的量之间可能存在深刻的联系。 在今后论及广义相对论时我们还会看到，时空与能量动量四矢之间也存在着深刻的联系。 3 狭义相对论基本原理 物质在相互作用中作永恒的运动，没有不运动的物质，也没有无物质的运动，由于物质是在相互联系，相互作用中运动的，因此，必须在物质的相互关系中描述运动，而不可能孤立的描述运动。 也就是说，运动必须有一个参考物，这个参考物就是参考系。 伽利略曾经指出，运动的船与静止的船上的运动不可区分，也就是说，当你在封闭的船舱里，与外界完全隔绝，那么即使你拥有最发达的头脑，最先进的仪
