如何理解纳维尔-斯托克斯方程？它与牛顿运动定律之间有何关联？如何利用张量语言简化流体力学中的矢量计算？
10月27日12时，《张朝阳的物理课》第二百二十八期开播，搜狐创始人、董事局主席兼CEO、物理学博士张朝阳坐镇搜狐视频直播间，首先回顾了如何用张量形式表达矢量微积分中的相关计算，再利用张量分析的方法从流体应力张量中导出了流体微元的受力。不难看到，这一受力恰好正对应流体力学中纳维尔-斯托克斯方程等号右边的压强梯度项和粘滞项，验证了该方程正是牛顿第三定律在流体中的表达。
（张朝阳解说纳维尔-斯托克斯方程）
从矢量微积分到微分几何
2024年跨年之际，张朝阳开启了一场以“时间”为主题的演讲。此后将近一年的时间里，他专注于研习和分享广义相对论的物理思想、数学基础和实验验证，与网友们一同领略物理学史上这颗璀璨明珠。
爱因斯坦的智慧在于他认识到，坐标对于自然界来说并不是必需的，而是人类为了描述现象而“创造”的工具。通过使用张量分析和微分几何等数学工具，相对论中的所有物理规律都以坐标无关或坐标协变的形式表达，揭示了引力与时空几何之间的深层联系。事实上，这种思路也可以用来重新审视引力以外的物理规律，也就是平直时空中的物理现象。在过去近两个月的直播课程中，张朝阳已经介绍了如何利用协变导数推导拉普拉斯算符，如何用张量语言改写麦克斯韦方程组，甚至还涉及到流体力学的内容。
在传统的教科书中，电动力学和流体力学都依赖于被称为“矢量微积分”（Vector Calculus）的数学工具。它的基础是矢量的点乘、叉乘运算，以及三个特殊的导数：
矢量微积分的运算依赖于大量的定理、公式与技巧，精巧的同时却容易让人迷失在技术细节中。而用上被张朝阳比喻为“牛刀”的张量语言后，这些运算过程将得到极大的化简。
在微分几何与张量分析的表达中，矢量也被称为一阶张量。利用一组合适的基底，可以将其表达为逆变形式
其中α=1,2,3是三个空间分量。这里沿袭在广义相对论中的习惯，使用爱因斯坦求和约定以简化叙述。而二阶张量需要用两个基底的张量积来展开，记为
前面两节直播课上已经证明过，两个矢量的点乘即是两个一阶矢量的缩并
矢量与二阶张量的点乘也可以类似定义
不难看到，矢量与二阶张量的结果其实是一个一阶张量，也即一个矢量。
再看矢量微积分中的导数运算。在矢量运算中，求导依赖于所谓的nabla算子。Nabla算子作用到一个函数（零阶张量）上，结果将是一个矢量（一阶张量），即函数的梯度。梯度起源于数学家希望找到一个量以表征函数在某一特定方向上的变化量，按照最朴素的想法，它应当是
其中
是任意方向上的单位矢量。等号右边的即是在沿着 l 方向上“迈出极小一步”后，函数 p 的改变量，与导数的定义相类似。注意到 Δl 是个小量，借助多元函数的泰勒展开，可以计算到
如果定义一个新的矢量
根据前面对点乘的改写，不难发现应当有
由于方向矢量 l 是任意的，应当有等式
成立，也即梯度也可以用张量语言重新表达。
仔细对照上一等式，不难发现，形式上nabla算子可以等效于算符
注意到张量语言的核心是坐标协变，等号右边的普通导数应替换为协变导数（covariant derivative）
即形式上，nabla算子是一个以（升指标后的）协变算符为系数的一阶张量。广义相对论的课程曾用符号D来标记协变导数，而此时，对矢量微积分的“翻译”看到协变导数与nabla算子的确切联系。协变导数作用到矢量上，结果是一个二阶张量
再用度规把仅有的协变指标升上去，加上基底，就能组成二阶逆变张量
总结起来，即 一个一阶张量的协变导数，再升一次指标，得到的是梯度算符与该矢量的张量积的逆变形式。 如果仿照求点乘，对两个指标进行缩并，即立刻得到散度的对应表达
在下面的计算中，将反复用到这些“翻译”，在矢量微积分与张量分析间来回切换，以实现高效地推导与计算。
（张朝阳回顾用张量语言表达矢量微积分的运算）
纳维尔-斯托克斯方程中的压强梯度
张朝阳介绍，本节物理课的主要任务在于借用张量表达理解流体力学中最为重要的纳维尔-斯托克斯方程（Navier-Stokes equation）的起源。《张朝阳的物理课》第二卷已介绍过这一方程
彼时出于叙述简便，这一方程是由从对简单情况的分析中归纳总结得到的。在本节课上，张朝阳强调，它本质上等价于牛顿第三定律
正是后者在流体情形上的改写。对比两者，不难看到它们等号左边都包含速度对时间的导数。而在纳维尔-斯托克斯方程中，为了得到质量，需要在等式两边同时乘上一个小的体积ΔV，得到
自然，希望等号右边有力的意义。
历史上，正是斯托克斯给出了相应的解释。斯托克斯的解释依赖于一个成为“应力张量”的物理量，它描述了流体中一个小体元的形变。应力张量是一个二阶张量，对于不可压缩流体，它可以表达为
在如图的表面上的一个微元所受应力即是微元的法向量与应力张量的点积
用上一节中介绍张量语言，不难理解这正是一个缩并的过程。
如果应力张量中仅有描述压强的第一项，受力将与面元法向平行，而第二项的存在将导致切向方向的力。这一结论已经在前两节物理课上经由仔细的验算得到。
扩展到流体中的某一个小体元，它的受力是面上各处受力之和。注意到力是一个矢量，对矢量的加和（积分）还要考虑方向的叠加，无疑是相当复杂的一个过程。为了简化计算，一个可行的方案是，选择一个特定的方向 l ，暂且先计算力这一方向上分量。
于是，目标转变为化简积分
这里积分号内涉及一个二阶张量的两次缩并。由于应力张量是对称的，两次缩并的次序并不影响计算结果，所以不妨先计算
先计算定义式(1)中第一项的贡献。这里二阶张量I在张量语言下对应的是度规张量
于是
第三行中用到了度规的协变形式和逆变形式互逆这一性质
如果记
则有
利用散度定理（参见《张朝阳的物理课》第二卷）可以将其进一步改写为
而散度可以用张量语言可以表达为
最后一个等式中，括号内即求压强p的梯度，于是
由于方向 l 的选取是任意的，不难看到整体的受力即是
此即对应纳维尔-斯托克斯方程右边的第一项，即对应描述压强梯度力的部分。
（张朝阳推导纳维尔-斯托克斯方程中的压强梯度力项）
纳维尔-斯托克斯方程中的粘滞力
再将应力张量定义(1)中的第二项代入式(2)中， 它可以用张量的语言写为
与上面类似，可以定义矢量
求其散度可得
注意到在第一项中，如果可以交换两个协变导数，带有指标β的两项即组合成对速度场的散度
而不可压缩流体的速度场散度为0，可以期望这一结果将大幅化简结果。
那这两个协变导数可以交换吗？它事实上依赖于广义相对论中两个非常重要的结论。首先是，度规的协变导数为零
成为度规的适配条件。同时，注意到交换协变导数的求导顺序，也就是协变导数的对易会得到黎曼曲率张量
而平直时空的曲率为零，所以有
于是
所以，在求G2散度的过程中，仅有第二项有贡献。
值得注意的是，在上节物理课中，经由仔细计算得到的结论是转置项 (▽u)^T 在计算中不起作用，粘滞力完全源于 ▽u ——似乎恰好与本节课程中所得结论相反。细想之下其实不然。注意到在式(2)中，先引入并计算了 l 方向上的投影，再计算它与法方向的点乘。而在上节课的计算中，顺序恰好相反，是先计算了应力张量在法方向上的点乘，再将其投影到切方向上。形式地说，上一节课计算的是
在最一般的情形下，二者并不相等，而是满足等式
中间的二阶张量将相差一个转置。由于应力张量是对称的
于是所得结果仍将保持一致。然而，其中 ▽u 和 (▽u)^T 的地位早已暗中互换，前者贡献为 0 也就不难理解了。
总而言之，利用散度定理，可以得到
经由上一节类似的讨论，可以推知
将式(3)和(4)应用到流体微元ΔV上，它的受力为
即恰好验证了纳维尔-斯托克斯方程等号右边的意义，即是流体中某一小体元所受的、流体其他部分给予的力，整个纳维尔-斯托克斯方程本质上仍是牛顿第三定律。
（张朝阳推导纳维尔-斯托克斯方程中的粘滞力项）
